آن‌چه که در دبیرستان با عنوان حساب دیفرانسیل و انتگرال معرفی می‌شود، در دانشگاه با عنوان شاخه‌ی آنالیز پیگیری می‌شود. از آن‌جایی که بخش زیادی از دانش‌آموزان در دوران تحصیلی خود با مفاهیمی چون انتگرال، مشتق، حد و پیوستگی آشنا شده‌اند و همواره ایده‌ی چگونگی پیدایش این مفاهیم و دلیل احساس نیاز به وجود چنین مفاهیمی مورد پرسش ذهن کنجکاوشان قرار می‌گیرد، تصمیم گرفته‌ایم که به این مفاهیم و ایده‌ی شکل‌گیری‌شان بپردازیم. 

به طور سنتی مباحث آنالیزی به ترتیب تدریس می‌شوند.

  1. مجموعه‌ها و نگاشت‌ها،
  2. حد و توابع پیوسته،
  3. مشتق،
  4. انتگرال

اما پیشرفت تاریخی این موضوعات توسط افراد زیر و دقیقاً با ترتیبی وارونه صورت گرفته است.

  1. ارشمیدس، کپلر 1615، فرما 1638
  2. نیوتون 1665، لایبنیتز 1675
  3. کوشی 1821، وایراشتراس
  4. کانتور 1875، ددکیند

در این نوشته‌های سلسله‌وار که خلاصه‌ای از کتاب Analysis and its history نوشته S. Axler و K.A. Ribet است، تصمیم داریم تا این روند تاریخی را بازگردانیم. با مطالبی تحت عنوان “معرفی آنالیز بینهایت” که برگرفته از کارهای کاردانو، دکارت، نیوتون و کتاب مشهور “معرفی” نوشته اویلر است، کار خود را آغاز می‌کنیم.

معرفی آنالیز بی‌نهایت (1)

… دانشجویان ما از مطالعه کتاب “معرفی آنالیز بینهایت” نوشته اویلر بیش از کتاب‌های در دسترس امروزی منفعت خواهند داشت.

آندره ویل 1979

… چون معلم با برخورداری از قدرت تشخیص و قضاوت مناسبی به دانش‌آموز غیرعادی خود (ژاکوبی) اجازه داد تا خود را با کتاب معرفی اویلر سرگرم کند، در حالی که دانش‌آموزان دیگر تلاش بسیاری انجام می‌دادند تا …

دیریکله 1852، سخنرانی برای یادبود ژاکوبی

در این جا به شرح منشاء توابع مقدماتی و تأثیر “هندسه” دکارت روی حسابان آن‌ها می‌پردازیم. درونیابی چندجمله‌ای‌ها ما را به سوی قضیه دوجمله‌ای نیوتون و سری‌های نامتناهی برای توابع نمایی، لگاریتم و مثلثاتی سوق می‌دهد. در قسمت‌های بعدی  این مطلب، بحثی در مورد اعداد مختلط، ضرب‌های نامتناهی و کسرهای مسلسل خواهیم داشت. این مطلب با بیان پیشرفت تاریخی این موضوع در دوره‌های مختلف به همراه دقت ریاضیاتی ادامه می‌یابد.

قسمت اعظمی از این مطالب الهام گرفته از کتابی با همین عنوان نوشته اویلر است.

مختصات دکارتی و توابع چندجمله‌ای

تا زمانی که هندسه و جبر جدا از هم بودند، پیشرفت آن‌ها کند و کاربرد آن‌ها محدود بود؛ اما به محض این که این علوم واحد گشتند، یکدیگر را متقابلاً تقویت کردند و به سرعت و به همراه هم به سمت کمال پیش رفتند. ما به کاربرد جبر در هندسه‌‌ی دکارت مدیون هستیم که کلید بزرگ‌ترین کشف در تمام رشته‌های ریاضی است.

لاگرانژ 1795

تمدن یونان اولین شکوفایی عظیم از استعداد ریاضی را ایجاد کرده ‌است. با شروع از عهد اقلیدس (حدود 300 سال قبل از میلاد مسیح)، اسکندریه به مرکز علم جهان مبدل شد. این شهر سه بار ویران شده‌ بود (47 سال قبل از میلاد توسط رومیان، در سال 392 میلادی توسط مسیحیان، و در آخر در سال 640 میلادی توسط مسلمانان)، و این سبب سقوط این تمدن شد. به دنبال توسعه متن‌های عربی (ضروری برای قرآن)، نویسنده‌های عربی مشتاقانه تکه‌های باقیمانده از کارهای یونانی (اقلیدس، ارسطو، افلاطون، ارشمیدس، آپولونیوس، بطلمیوس) و همچنین ریاضیدانان هندی را ترجمه و تحقیقات جدیدی را در ریاضیات آغاز کردند. در نهایت، در طول جنگ‌های صلیبی (1100-1300)، اروپاییان تمدن جدیدی را کشف کردند؛ جرارد کرمونا (1114-1187)، رابرت چستر (قرن دوازدهم)، لئوناردو دا پیزا (“فیبوناچی”، حدود 1200) و رژیمونتنوس (1436-1476) مترجمین اصلی و دانشمندان اولیه در اروپای غربی بودند.

در آن زمان ریاضیات به طور کامل مجزا شده بود: در یک سمت جبر و در سمت دیگر هندسه.

جبر

می‌توان دیوفانتی را به عنوان مبدع جبر در نظر گرفت؛ …

(لاگرانژ 1795)

جبر میراثی از یونان و قرون وسطایی شرقی است. کتاب مشهور “جبر و مقابله” اثر محمد بن موسی الخوارزمی (830 سال بعد از میلاد مسیح) با حل معادلات درجه دوم آغاز می‌شود. قدیمی‌ترین نسخه خطی شناخته شده متعلق به سال 1342 است که به صورت زیر شروع می‌شود:

مثال خوارزمی. معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید.

$$x^2+10x=39       \qquad \qquad (1)$$

به عنوان یک تساوی جواب نامعلوم \(x\) را پنهان می‌کند. این جواب توسط اعراب ریشه نامیده می‌شود، کلمه‌ای که در اصل برای ضلع یک مربع از سطح داده شده به کار برده می‌شود (“یک ریشه هر مقداری است که باید توسط خود ضرب شود” فردریک روسن).

 

نسخه خطی از سال 1342

 

شکل 1: جواب معادله \(x^2+10x=39\)

 

حل. خوارزمی یک مربع به ضلع \(x\) را برای نمایش \(x^2\) و دو مستطیل به اضلاع 5 و \(x\) را برای جمله \(10x\) رسم کرد (شکل 1 را مشاهده کنید). معادله (1) نشان می‌دهد که ناحیه سایه خورده از شکل 1 برابر با 39 است؛ بنابراین مساحت کل مربع برابر است با \(39+25=64=4\cdot 4\) و لذا داریم \(x+5=8\) و \(x=3\).

نسخه خطی از سال 1342

شکل ‏2: حل معادله \(x^2+21=10x\)

 

با دومین مثال (از خوارزمی)

$$x^2+21=10x  \qquad \qquad (2)$$

نشان می‌دهیم که علامت‌های مختلف به شکل‌های متفاوتی نیاز دارند. برای به دست آوردن جواب آن یک مربع به ضلع \(x^2\) رسم می‌کنیم و یک مستطیل به عرض \(x\) و طولی نامعلوم برای 21 به آن وصل می‌کنیم (شکل 2). بنا به معادله (‏2)، طول تمام شکل 10 است. شکل از وسط به دو نیم تقسیم شده و مستطیل (A) بین \(x^2\) و خط وسط به صورت مستطیل (B) در بالا قرار گرفته است. بدین صورت شکلی با ارتفاع 5 حاصل می‌شود. ناحیه خاکستری همان 21 است و مربع کامل شده (ناحیه سیاه و خاکستری) برابر است با \(25=5\cdot5\). پس مربع کوچک سیاه باید \(25-21=4=2\cdot2\) باشد و به دست می‌آوریم \(x=3\). همچنین خوارزمی با ترسیمی مشابه (می‌توانید شما نیز امتحان کنید) جواب دوم \(x=7\) را نیز پیدا کرد.

محمد بن موسی الخوارزمی راه حل خود را به صورت زیر توصیف می‌کند:

… برای مثال، “یک مربع و بیست و یک در اعداد برابر است با ده برابر ریشه‌های همان مربع.” یعنی این که بگوییم، مقدار مربع چه باید باشد تا زمانی که بیست و یک درهم به آن اضافه می‌شود، مساوی با ده برابر ریشه‌های آن مربع شود؟ حل: تعداد ریشه‌ها را نصف کنید، حاصل آن پنج است. این عدد را در خود ضرب کنید؛ حاصل آن بیست و پنج است. از آن بیست و یک را که به مربع متصل است، کم کنید؛ باقیمانده چهار است. ریشه‌ آن را به دست آورید؛ آن دو است. این مقدار را از نصف ریشه‌ها یعنی پنج کم کنید؛ باقیمانده آن سه است. این مقدار ریشه مربعی است که نیاز داشتیم و مربع آن برابر با نُه است. یا می‌توانید ریشه را به نصف ریشه‌ها اضافه کنید؛ حاصل آن هفت است که این نیز ریشه مربع است که به دنبال آن بودیم و مربع آن برابر با چهل و نُه است.

به عنوان یک کاربرد، خوارزمی معمای زیر را حل کرد: “من 10 را به دو قسمت تفکیک و یکی از آن‌ها را در دیگری ضرب کرده‌ام، حاصل برابر با 21 است.” یکی از آن دو قسمت را \(x\) و دیگری را \(x-10\) در نظر بگیرید، سپس آن‌ها را در هم ضرب کنید، داریم

$$x(10-x)=21 \qquad \qquad (3)$$

که هم‌ارز با معادله (2) است. بنابراین جواب آن برابر با دو ریشه معادله (2) یعنی 3 و 7 است.

0 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

تمایل دارید در گفتگوها شرکت کنید؟
در گفتگو ها شرکت کنید.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *