معادلات، مانند اعداد، همیشه نمی توانند به بخش های ساده تر تقسیم شوند. محققان اکنون ثابت کرده اند که هر چه معادلات بزرگتر می شوند، چنین معادلاتِ “اولی” بیشتر دیده می شوند.


اعداد اول همه محبت ها را دریافت می کنند. آن ها ستاره های داستان های معروف بی شماری هستند، آن ها در اکثر مسائل باز معروف در ریاضی نقش بازی می کنند. اما پدیده ی ریاضی دیگری وجود دارد که تقریبا به همان اندازه بنیادی است، اما توجه کمی به خود جلب می کند: معادلات اول.

معادلاتی وجود دارند – به صورت خاص معادلات چند جمله ای – که نمی توان آن ها را به معادله های دیگری تقسیم کرد. مانند اعداد اول، آن ها در قلب طیف گسترده ای از زمینه های تحقیقاتی در ریاضی هستند. در مورد بسیاری از مسائل خاص، اگر بتوانید چیزی درباره ی معادلات اول درک کنید، می بینید که در واقع به جواب سوالی رسیده اید که قصد حلش را داشتید.

لیور بری-سوروکر از دانشگاه تل آویو می گوید: “وقتی ما سوالی داریم، می توانیم آن را به مسئله ای مربوط به اعداد اول کاهش دهیم، دقیقا همین اتفاق با چندجمله ای ها می افتد.”

همانند اعداد اول، پایه ای ترین نکته ای که باید در مورد معادلات اول بدانیم این است که: هر چند مدت دیده می شوند؟ در سال اخیر ریاضیدانان پیشرفت قابل توجهی در پاسخ گویی به این سوال کرده اند. در مقاله ای که اواخر اکتبر منتشر شد، امانوئل برولارد و پیتر وارجه از دانشگاه کمبریج اثبات کردند که تقریبا تمام معادلات از نوعی خاص، اول هستند.

این به این معنی است که برخلاف اعداد اول، که کم هستند، معادلات اول فراوانند. این مقاله جدید حدس 25 ساله ای را حل می کند و در همه جا از رمزگذاری آنلاین تا ریاضیات تصادفی پیامد هایی دارد.

راه های بیشتری برای شکست خوردن

بسیاری از سوال های ریاضی مرتبط با چندجمله ای ها می شوند. چندجمله ای ها معادلاتی هستند – مانند \(y = 2x – 3\) و \(y = x^2 + 5x + 6\) – که شامل متغیر هایی که به توانی عددی رسیده اند و ضریبی پشتشان است، هستند.

این معادلات از بسیاری نظر ها درست مانند اعداد عادی رفتار می کنند: می توانید آن ها را جمع، منها، ضرب و تقسیم کنید. و همانند اعداد، می توانید این سوال را بپرسید که کدام معادلات را می توان به صورت ضرب دو معادله ی دیگر نشان داد.[1]

هنگامی که معادله ای را نتوان به دو بخش کوچک تر تقسیم کرد، ریاضیدانان به آن غیر قابل کاهش می گویند. ریاضیدانان تمایل دارند بدانند معادلات چندجمله ای غیر قابل کاهش هر چند مدت دیده می شوند.

در تلاش برای اظهارنظر در مورد فراوانی چندجمله ای های غیر قابل کاهش در میان تمام چندجمله ای ها – معادلاتی با هر تعداد متغیر که به توان هر عددی برسند و هر ضریبی داشته باشند – دشوار است. بنابراین، ریاضیدانان به نسخه های کوچک تر این سوال حمله کردند، با محدود کردن توان ها (مثلا انتخاب چندجمله ای هایی که هیچ متغیری با توان بالاتر از 5 ندارند) یا محدود کردن ضرایب به بازه ای کوچک. در اکتبر 2017، بری-سوروکر و گدی کُزما، ریاضیدانی در موسسه علمی وایزمن در اسرائیل، اثبات کرد که تقریبا تمام چندجمله ای هایی که ضرایبشان در بازه ی خاصی است، غیرقابل کاهش هستند.

برولارد و وارجه مسئله ای کمی متفاوت را حل کردند. آن ها چندجمله ای هایی با هر طولی و هر توانی را در نظر گرفتند و تنها ضرایب را از مجموعه ی متناهی از اعداد انتخاب کردند.

اگر می خواهی مطلبی را بخوانی و نمی توانی خیلی چیز ها را اثبات کنی، بهتر است از چیز های ساده شروع کنی.

لیور بری-سوروکر

روش برولارد و وارجه به آن ها دسترسی به مسئله ای ساده تر داد. در سال 1993، اندرو اُدلیزکو، ریاضیدانی که در حال تدریس در دانشگاه مینه سوتا، و بیورن پونِن، در حال تدریس در موسسه فناوری ماساچوست، حدس زدند که اگر چندجمله ای هایی هر چه پیچیده اما با محدودیت ضریب 0 یا 1 را فرض کنید، معادلاتی که می توان به بخش های کوچک تر تقسیم کرد در دریای چندجمله ای های “اول” بسیار کمیاب می شوند. حدس ادلیزکو و پونن، با محدود کردن چندجمله ای ها به فقط دو ضریب، تلاشی بود برای ثابت کردن جای پایی در سوالی جامع.

بری-سوروکر می گوید:

“اگر می خواهی مطلبی را بخوانی و نمی توانی خیلی چیز ها را اثبات کنی، بهتر است از چیز های ساده شروع کنی.”

حدس آن ها همچنین از حساب پایه ای انگیزه گرفته بود. اعداد اول در بین 10 عدد اول متداول هستند اما پس از آن، کمیاب تر می شوند. برای اول بودن، یک عدد باید از قابل تقسیم بودن بر هر عدد کوچکتر از خودش (به جز 1) پرهیز کند. هنگامی که اعداد بزرگ تر می شوند، لیست اعدادی که می توانند آن را تقسیم کنند بلندتر می شود – در اعداد بزرگ نسبت به اعداد کوچک راه های بیشتری برای شکست خوردن آزمون اول بودن وجود دارد.

در مورد چندجمله ای، وضعیت متفاوتی در جریان است. برای اینکه یک چندجمله ای قابل تقسیم باشد، ضرایبش باید رابطه ی خاصی با یکدیگر داشته باشند. چندجمله ای \(y = x^2 + 5x + 6\) را می توان به \((x + 3) * (x + 2)\) فاکتور کرد، تنها به این خاطر که دو عدد 2 و 3 وجود دارند که با جمع آن ها می توان ضریب دوم (5) و با ضرب آن ها ضریب سوم (6) را به دست آورد. چندجمله ای هایی که جمله های بیشتری دارند، خواسته های پیچیده تری برای تحقق برای ضرایب دارند. احتمال پیدا کردن فاکتور هایی که تمام ضرایب را برآورده می کنند، به دلیل افزایش تعداد ضرایب، کمتر می شود.

اُدلیزکو می گوید:

“برای اینکه یک چندجمله ای قابل کاهش باشد، باید یک تصادف داشته باشید، روابط خاصی بین ضرایب. در مورد چندجمله ای هایی با درجه بالا، تعداد روابطی که باید برآورده شوند، بیشتر می شود.”

قدم زدن تصادفی

هدف برولارد و وارجه بررسی کاهش ناپذیری چندجمله ای ها نبود. در عوض، آن ها علاقه مند به ریاضیاتِ قدم زدن تصادفی بودند. در این قدم زدن تصادفی، خودتان را ایستاده بر روی یک ساعت فرض کنید، با اعداد 1 تا 11 که در فاصله های مساوی کنار هم قرار گرفته اند. شما از نقطه متناظر با عدد 1 شروع می کنید و یک سکه را می اندازید: اگر خط آمد، عددی که روی آن هستید را در عددی که قبلا انتخاب کرده اید ضرب می کنید، سپس به نقطه متناظر با حاصل این ضرب می روید. (در چنین ساعتی یا سیستم های عددیِ پیمانه ای، اگر نتیجه عددی بزرگتر از 11 بود، به حرکت کردن به دور ساعت ادامه می دهید تا به تعداد موردنیاز به جلو پیش روید). اگر سکه شیر آمد، عددی که بر روی آن هستید را در عدد از پیش تعیین شده ی تان ضرب می کنید، حاصل را یک واحد افزایش می دهید و سپس به نقطه متناظر می روید.

Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

با این شرایط، برولارد و وارجه به دنبال درک دو چیز بودند: چقدر طول می کشد تا تمام نقاط روی دایره را ببینیم؟ و چقدر طول می کشد تا تمام نقطه ها را تقریبا به تعداد دفعات برابر ببینیم؟

این سوالات برای ریاضیدانان با نام مسئله مخلوط شناخته شده است و از قرار معلوم آن ها به کاهش ناپذیری چندجمله ای ها مربوطند. برولارد و وارجه تشخیص دادند که مسیر های قدم زدن تصادفی را می توان با یک معادله ی چندجمله ای با ضرایب 0 و 1 توضیح داد. زمان مخلوط قدم زدن تصادفی رابطه ی نزدیکی دارد با اینکه چندجمله ای هایی که این قدم زدن را توضیح می دهند، غیر قابل کاهش باشند.

وارجه می گوید: “ما مشاهده کردیم که می توانیم در مورد نوع سوالاتی که می خواهیم درک کنیم، چیزی بگوییم اگر می دانستیم که آیا این چندجمله ای ها غیر قابل کاهش هستند یا خیر.”

برای آزمایش کردن کاهش ناپذیری، برولارد و وارجه تکنیکی که در دهه 1980 توسعه یافته بود را به کار گرفتند که کاهش ناپذیری را به نظریه اعداد ربط می داد. آن ها می خواستند بدانند یک چندجمله ای داده شده، چند جواب در یک سیستم عددی پیمانه ای داده شده دارد. کار های پیشین نشان داده بودند که تعداد جواب های یک چندجمله ای، تعداد عوامل تجزیه آن را نشان می دهد. بنابراین اگر به طور متوسط در سراسر سیستم پیمانه ای سه جواب داشته باشد، سه عامل تجزیه خواهد داشت. فقط یک جواب دارد؟ پس فقط یک عامل تجزیه. و اگر یک چندجمله ای فقط یک عامل تجزیه داشته باشد، به این معنی است که غیر قابل کاهش است.

با استفاده از این روش، اعمال کردن آن روی سیستم های عددی پیمانه ای براساس اعداد اول، برولارد و وارجه اثبات کردند که هر چه چندجمله ای های بزرگتری را در نظر بگیرید (با ضرایب 0 و 1)، نسبت چندجمله های غیر قابل کاهش به 100 درصد نزدیک و نزدیک تر می شود.

البته اثبات آن ها محدودیتی دارد. اثبات آن ها وابسته به درستی حدس دیگری است: حدس ریمان، مهم ترین و ترسناک ترین مسئله حل نشده در ریاضیات. اما حدس ریمان به طور گسترده ای مقبول است، که کار برولارد و وارجه را شناور نگه می دارد.

نتیجه آن ها پیامد های گسترده ای دارد. در سطح عملی، اگر خبر غیرمنتظره ای برای رمزنگاری آنلاین نباشد، خبر خوبی است، زیرا چندجمله ای های قابل تجزیه می توانند یک طرح رمزنگاری دیجیتال معمول را زیر سوال ببرند. شاید مهمتر، این قدمی بزرگ به سمت درک طبیعت این معادلات است، که در زندگی و ریاضی فراوان هستند اما در کل به سختی مشخص می شوند.

اُدلیزکو می گوید: “تخمین های پیشین برای کسری از این چندجمله ای ها (که کاهش ناپذیر هستند) بسیار ضعیف تر بود، حالا این آقایان می گویند عملا همه ی آن ها کاهش ناپذیر هستند.”

منبع:


[1] برای مثال: معادله چندجمله ای y = x2 + 5x + 6  برابر است با (x + 3) × (x + 2).

0 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

تمایل دارید در گفتگوها شرکت کنید؟
در گفتگو ها شرکت کنید.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *